確率過程論（数理手法VI） | UTokyo OCW (OpenCourseWare)

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確率過程論（数理手法VI）

確率過程論（数理手法VI）

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が道具として用いられる。この講義では数理手法IVに続き、連続な確率過程の理論について講義を行う。

1. 測度論からの準備
2. 測度論的確率論
3. ブラウン運動①
4. ブラウン運動②
5. ブラウン運動③
6. 連続マルチンゲール
7. 確率積分①
8. 確率積分②
9. 確率積分③
10. 伊藤の公式①
11. 伊藤の公式②
12. 伊藤の公式の応用
13. 確率微分方程式の拡張
14. 2018年度数理手法Ⅵ　講義　第1章ー第8章

講義一覧

1. 測度論からの準備

1-1　初めに | 楠岡成雄

1-2　1.1.1　σ-可測族 | 楠岡成雄

1-3　1.1.2　Dinkin系 | 楠岡成雄

1-4　測度 | 楠岡成雄

1-5　可測関数、可測写像 | 楠岡成雄

1-6　2.1.1　確率空間、確率変数 | 楠岡成雄

1-7　2.1.2　期待値 | 楠岡成雄

講義資料1 | 楠岡成雄

2. 測度論的確率論

2-1　2.1.2　期待値（つづき） | 楠岡成雄

2-2　2.2.1　定義 | 楠岡成雄

2-3　2.2.2　独立性についてのいくつかの重要な性質 | 楠岡成雄

2-4　2.2.3　独立な確率変数に関する性質 | 楠岡成雄

2-5　3.1.1　定義 | 楠岡成雄

2-6　3.1.2　いくつかの性質 | 楠岡成雄

講義資料2 | 楠岡成雄

3. ブラウン運動①

3-1　3.1.2　いくつかの性質（つづき） | 楠岡成雄

3-2　4.0　初めに | 楠岡成雄

3-3　4.1.1　ガウス確率変数 | 楠岡成雄

3-4　4.1.2　ガウス確率変数の列に関する性質 | 楠岡成雄

3-5　4.1.3　ガウス系の定義と性質 | 楠岡成雄

3-6　4.1.4　ガウス系の定義と性質（つづき） | 楠岡成雄

3-7　4.2.1　ブラウン運動の定義 | 楠岡成雄

3-8　4.2.2　ブラウン運動の存在定理 | 楠岡成雄

講義資料3 | 楠岡成雄

4. ブラウン運動②

4-1　4.2.1　ブラウン運動の定義（前回の復習） | 楠岡成雄

4-2　4.2.2　ブラウン運動の存在定理（前回の復習） | 楠岡成雄

4-3　4.2.3　証明（1．標準正規分布の分布関数に連続な逆関数があること） | 楠岡成雄

4-4　4.2.4　証明つづき（2．Ψn,mが完備であること） | 楠岡成雄

4-5　4.2.5　証明つづき（3．確率過程の定義とその性質） | 楠岡成雄

4-6　4.2.6　証明つづき（4．確率過程の変動に関する種々の期待値） | 楠岡成雄

4-7　4.2.7　証明つづき（5．確率過程の変動に関する種々の期待値上限値の評価） | 楠岡成雄

4-8　4.2.8　証明つづき（6．ブラウン運動の定義、期待値、分散） | 楠岡成雄

4-9　4.2.9　証明つづき（7．ブラウン運動の期待値と分散、まとめ） | 楠岡成雄

4-10　4.2.10 ホワイト・ノイズ | 楠岡成雄

講義資料3 | 楠岡成雄

5. ブラウン運動③

5-1　4.3.1　確率空間の完備化 | 楠岡成雄

5-2　4.3.2　完備な確率空間 | 楠岡成雄

5-3　4.4.1　d-次元標準ブラウン運動 | 楠岡成雄

5-4　4.4.2　ブラウン運動から作られるフィルトレーション（1） | 楠岡成雄

5-5　4.4.3　ブラウン運動から作られるフィルトレーション（2） | 楠岡成雄

5-6　5.1.1　標準的条件を満たすフィルトレーション | 楠岡成雄

5-7　5.1.2　積分の定義 | 楠岡成雄

講義資料3 | 楠岡成雄

6. 連続マルチンゲール

6-1　5.1.2　積分の定義（これまでのまとめ） | 楠岡成雄

6-2　5.1.3　積分値（期待値）の一意性、連続性および存在 | 楠岡成雄

6-3　5.2.1　連続マルチンゲールの定義 | 楠岡成雄

6-4　5.2.2　いくつかの性質（1）2乗可積分性 | 楠岡成雄

6-5　5.2.3　いくつかの性質（2） | 楠岡成雄

6-6　5.3.1　連続時刻の場合の停止時刻の定義 | 楠岡成雄

6-7　5.3.2　離散時間へのすり替え：分割の定義と離散化された停止時刻 | 楠岡成雄

6-8　5.3.3　停止時刻の性質 | 楠岡成雄

6-9　5.3.4　連続マルチンゲールの停止時刻における性質（1） | 楠岡成雄

6-10 5.3.5　連続マルチンゲールの停止時刻における性質（2） | 楠岡成雄

7. 確率積分①

7-1　5.3.5　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (2) （つづき　ノーテーションのまとめ） | 楠岡成雄

7-2　5.3.6　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (3) | 楠岡成雄

7-3　5.3.7　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (4) | 楠岡成雄

7-4　6.1.1　標準的ブラウン運動の定義 | 楠岡成雄

7-5　6.1.2　標準的ブラウン運動に対する積分 | 楠岡成雄

7-6　6.1.3　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質1）連続マルチンゲール | 楠岡成雄

7-7　6.1.4　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質2）2乗可積分性と連続マルチンゲール | 楠岡成雄

7-8　6.1.5　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3） | 楠岡成雄

演習問題4 | 楠岡成雄

8. 確率積分②

8-1　6.1.5　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3 つづき） | 楠岡成雄

8-2　6.1.6　異なる時間に関する相関の評価 (1) | 楠岡成雄

8-3　6.1.7　異なる時間に関する相関の評価 (2) | 楠岡成雄

8-4　6.1.8　異なる時間に関する相関の評価 (3) | 楠岡成雄

8-5　6.2.1　異なる時間に対する一様な収束 | 楠岡成雄

8-6　6.2.2　確率積分の導入 | 楠岡成雄

8-7　6.2.3　確率積分の性質(1) | 楠岡成雄

8-8　6.2.4　確率積分の性質(2) | 楠岡成雄

8-9　6.2.5　確率積分の性質(3) | 楠岡成雄

9. 確率積分③

9-1　6.2.6　確率積分の性質(4)（前回までの復習） | 楠岡成雄

9-2　6.2.7　確率積分と停止時刻 (1) | 楠岡成雄

9-3　6.2.8　確率積分と停止時刻 (2) | 楠岡成雄

9-4　6.2.9　確率積分に対する評価式 | 楠岡成雄

9-5　6.3.1　確率微分方程式の導入と「解」 | 楠岡成雄

9-6　6.3.2　SDEの解の一意性(1) 解の候補（有界連続性と、確率積分が存在すること） | 楠岡成雄

9-7　6.3.3　SDEの解の一意性(2) 確率積分の評価式 | 楠岡成雄

9-8　6.3.4　SDEの解の一意性(3) 連続性と一意性　 | 楠岡成雄

10. 伊藤の公式①

10-1　7.0.1　これまでのまとめと伊藤の公式の役割 | 楠岡成雄

10-2　7.1.1　伊藤過程とは（伊藤過程の定義） | 楠岡成雄

10-3　7.1.2　伊藤の公式のための準備 (1) | 楠岡成雄

10-4　7.1.3　伊藤の公式のための準備 (2) | 楠岡成雄

10-5　7.1.4　伊藤の公式のための準備 (3) 確率積分の拡張 | 楠岡成雄

10-6　7.1.5　拡張した確率積分が差分の極限となっていること | 楠岡成雄

10-7　7.1.6　伊藤過程が線形なベクトル空間になっていること | 楠岡成雄

10-8　7.2.1　二次変分の定義（新たな伊藤過程）と双線型性 | 楠岡成雄

10-9　7.2.2　2つの差分の積が生き残る | 楠岡成雄

11. 伊藤の公式②

11-1　7.2.3　これまでのまとめ | 楠岡成雄

11-2　7.2.4　２つの差分の積が生き残ること（命題） | 楠岡成雄

11-3　7.2.5　２つの差分の積が生き残ることの証明 (1) 証明すべきことの整理 | 楠岡成雄

11-4　7.2.6　２つの差分の積が生き残ることの証明 (2) Case 1 、Case 2 | 楠岡成雄

11-5　7.2.7　２つの差分の積が生き残ることの証明 (3) Case 3 | 楠岡成雄

11-6　7.2.8　三次変分はどうなるか | 楠岡成雄

11-7　7.3.1　伊藤の公式の準備 | 楠岡成雄

11-8　7.3.2　伊藤の公式 | 楠岡成雄

12. 伊藤の公式の応用

12-1　8.1.1　伊藤の公式の結果として導かれるSDE | 楠岡成雄

12-2　8.1.2　Kolmogorov方程式 | 楠岡成雄

12-3　8.2　最大値原理 | 楠岡成雄

12-4　8.3.1　伊藤の公式 | 楠岡成雄

12-5　8.3.2　1次元ブラウン運動 | 楠岡成雄

12-6　8.3.3　一般のブラウン運動 | 楠岡成雄

12-7　8.3.4　最大値原理とブラウン運動を組み合わせて | 楠岡成雄

12-8　8.3.5　確率積分の拡張 | 楠岡成雄

演習問題5 | 楠岡成雄

13. 確率微分方程式の拡張

13-1　9.0　これまでのまとめ | 楠岡成雄

13-2　9.1　局所連続マルチンゲール | 楠岡成雄

13-3　9.2.1　停止時刻 | 楠岡成雄

13-4　9.2.2　第1の命題 | 楠岡成雄

13-5　9.2.3　第2の命題（命題6.2.3の拡張） | 楠岡成雄

13-6　9.2.4　線型性 | 楠岡成雄

13-7　9.2.5　局所連続マルチンゲールであることとその結果の性質 | 楠岡成雄

13-8　9.3.1　拡張された伊藤過程 | 楠岡成雄

13-9　9.3.2　拡張された伊藤の公式 | 楠岡成雄

14. 2018年度数理手法Ⅵ　講義　第1章ー第8章

2018年度　講義　第1章－第8章 | 楠岡成雄

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