最適化手法（数理手法III） | UTokyo OCW (OpenCourseWare)

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最適化手法（数理手法III）

最適化手法（数理手法III）

最適化とその応用について講述する．最適化（数理計画）とは，意思決定のための数理手法の一つである．最適化では，与えられた条件を満たす解のうち，ある関数を最小（または最大）にするものを求める．工学における多くの問題が，このような最適化問題として定式化できる．この講義では，最適化におけるいくつかの基本的な問題を取り上げ，それらがもつ性質と解法を説明するとともに，それらの応用を紹介する．

1. 最適化の概要、連続最適化：無制約最適化①
2. 連続最適化：無制約最適化②
3. 連続最適化：無制約最適化③
4. 連続最適化：無制約最適化④
5. 連続最適化：無制約最適化⑤、制約付き最適化①
6. 連続最適化：制約付き最適化②
7. 凸計画①
8. 凸計画②
9. 凸計画③
10. ネットワーク計画①
11. ネットワーク計画②、組合せ最適化①
12. 組合せ最適化の近似解法②、整数計画①
13. 整数計画②
14. 演習問題

講義一覧

1. 最適化の概要、連続最適化：無制約最適化①

1-1　最適化問題の着眼点 | 寒野善博

1-2　最適化問題の例①:乗換案内 | 寒野善博

1-3　最適化問題の例②:配車計画 | 寒野善博

1-4　最適化問題の例③:最適設計（基本的な例題） | 寒野善博

1-5　最適化問題の例④：1変数の場合 | 寒野善博

1-6　最適化問題の分類 | 寒野善博

1-7　無制約最適化の基本 | 寒野善博

1-8　最適解が同じ最適化問題 | 寒野善博

講義資料1 | 寒野善博

2. 連続最適化：無制約最適化②

2-1　応用例（回帰分析） | 寒野善博

2-2　多変数の場合 | 寒野善博

2-3　勾配とヘッセ行列、テイラー展開 | 寒野善博

2-4　多変数関数の例 | 寒野善博

2-5　1次の最適性条件 | 寒野善博

2-6　勾配の意味 | 寒野善博

2-7　停留点 | 寒野善博

2-8　対称行列の正定値性 | 寒野善博

2-9　正定値行列の例 | 寒野善博

配付資料1 | 寒野善博

3. 連続最適化：無制約最適化③

3-1　最適性条件（前回の復習） | 寒野善博

3-2　2次の最適性条件 | 寒野善博

3-3　最適性判定の例題（出題）、2×2行列の正定値性 | 寒野善博

3-4　最適性判定の例題（解説） | 寒野善博

3-5　2次関数の勾配とヘッセ行列 | 寒野善博

3-6　数値解法：反復法の枠組み | 寒野善博

3-7　最急降下法 | 寒野善博

3-8　2次元の例、正確な直線探索 | 寒野善博

3-9　最急降下法のアルゴリズム | 寒野善博

3-10 実用的な直線探索 | 寒野善博

配付資料2 | 寒野善博

4. 連続最適化：無制約最適化④

4-1 最急降下法（前回の復習） | 寒野善博

4-2 最急降下法の例題 | 寒野善博

4-3 最急降下法のアルゴリズムの実行例 | 寒野善博

4-4 最急降下法の長所と短所 | 寒野善博

4-5 ニュートン法 | 寒野善博

4-6 ニュートン法の例題 | 寒野善博

4-7 ニュートン法の長所と短所 | 寒野善博

4-8 降下方向 | 寒野善博

5. 連続最適化：無制約最適化⑤、制約付き最適化①

5-1 準ニュートン法 | 寒野善博

5-2 ヘッセ行列の近似の仕方：正定値対称 | 寒野善博

5-3 ヘッセ行列の近似の仕方：セカント条件 | 寒野善博

5-4 ヘッセ行列の近似の仕方：注意点、BFGS公式 | 寒野善博

5-5 準ニュートン法の例、無制約最適化の数値解法の比較 | 寒野善博

5-6 収束速度 | 寒野善博

5-7 最急降下法の加速法 | 寒野善博

5-8 制約付き最適化の基本 | 寒野善博

5-9 等式制約のみの場合 | 寒野善博

5-10 ラグランジュ乗数法 | 寒野善博

配付資料3 | 寒野善博

配付資料4 | 寒野善博

6. 連続最適化：制約付き最適化②

6-1 ラグランジュ乗数法（前回の復習、制約想定） | 寒野善博

6-2 ラグランジュ乗数法の証明の概略① | 寒野善博

6-3 ラグランジュ乗数法の証明の概略② | 寒野善博

6-4 不等式制約をもつ場合 | 寒野善博

6-5 最適性条件の観察 | 寒野善博

6-6 KKT条件 | 寒野善博

6-7 ラグランジュ関数 | 寒野善博

6-8 一般の制約付き最適化問題の解法 | 寒野善博

配付資料5 | 寒野善博

7. 凸計画①

7-1 凸計画の導入 | 寒野善博

7-2 凸関数の定義 | 寒野善博

7-3 凸関数の例 | 寒野善博

7-4 凸関数の特徴づけ | 寒野善博

7-5 凸集合 | 寒野善博

7-6 凸集合の例 | 寒野善博

7-7 凸計画問題の基本 | 寒野善博

7-8 線形計画問題の基本 | 寒野善博

7-9 等式標準形への変形例 | 寒野善博

7-10 線形計画問題の実行可能領域と最適解 | 寒野善博

7-11 線形計画問題の例 | 寒野善博

配付資料6 | 寒野善博

8. 凸計画②

8-1 線形計画（前回の復習） | 寒野善博

8-2 線形計画問題の例：絶対値の和 | 寒野善博

8-3 基底追跡 | 寒野善博

8-4 線形計画問題の例：いくつかの1次関数の最大値 | 寒野善博

8-5 線形計画問題の例：多面体のChebyshev中心 | 寒野善博

8-6 CVXPYによる線形計画問題の解き方 | 寒野善博

8-7 線形計画の双対性 | 寒野善博

8-8 線形計画の強双対性 | 寒野善博

8-9 線形計画の最適性条件 | 寒野善博

8-10 内点法 | 寒野善博

配付資料7 | 寒野善博

9. 凸計画③

9-1 2次計画の基本 | 寒野善博

9-2 回帰分析：最小二乗法 | 寒野善博

9-3 回帰分析：リッジ回帰, LASSO | 寒野善博

9-4 CVXPYによる2次計画問題の解き方 | 寒野善博

9-5 サポートベクターマシン：基本，①直線での分離可能性 | 寒野善博

9-6 サポートベクターマシン：②分離可能な場合 | 寒野善博

9-7 サポートベクターマシン：③分離不可能な場合 | 寒野善博

9-8 確率線形計画 | 寒野善博

9-9 半正定値計画 | 寒野善博

9-10 半正定値計画の応用例 | 寒野善博

講義資料2 | 寒野善博

配付資料8 | 寒野善博

10. ネットワーク計画①

10-1 最短路問題 | 寒野善博

10-2 最適性の原理 | 寒野善博

10-3 ダイクストラ法① | 寒野善博

10-4 ダイクストラ法② | 寒野善博

10-5 グラフ | 寒野善博

10-6 木 | 寒野善博

10-7 全域木，カット | 寒野善博

10-8 最小木問題 | 寒野善博

10-9 最小木の性質の証明 | 寒野善博

10-10 プリムのアルゴリズム | 寒野善博

11. ネットワーク計画②、組合せ最適化①

11-1 最小木問題（復習） | 寒野善博

11-2 クラスカルのアルゴリズム | 寒野善博

11-3 NetworkXによるネットワーク計画問題の解き方 | 寒野善博

11-4 階層的クラスタリング | 寒野善博

11-5 階層的クラスタリング：クラスカルのアルゴリズムによる解法 | 寒野善博

11-6 組み合わせ最適化：巡回セールスマン問題の例 | 寒野善博

11-7 巡回セールスマン問題：貪欲算法の適用例 | 寒野善博

11-8 巡回セールスマン問題：近似解法 | 寒野善博

11-9 巡回セールスマン問題：近似比 | 寒野善博

配付資料9 | 寒野善博

配付資料10 | 寒野善博

12. 組合せ最適化の近似解法②、整数計画①

12-1 最遠点クラスタリング | 寒野善博

12-2 最遠点クラスタリング：近似解法（farthest-first traversal） | 寒野善博

12-3 最遠点クラスタリング：近似比 | 寒野善博

12-4 最遠点クラスタリング：近似比の説明 | 寒野善博

12-5 ナップサック問題 | 寒野善博

12-6 ナップサック問題：具体例 | 寒野善博

12-7 ナップサック問題：緩和問題の解 | 寒野善博

12-8 ナップサック問題：近似解法 | 寒野善博

12-9 整数計画 | 寒野善博

12-10 連続緩和問題 | 寒野善博

13. 整数計画②

13-1 整数計画（前回の復習） | 寒野善博

13-2 連続緩和問題 | 寒野善博

13-3 分枝限定法① | 寒野善博

13-4 分枝限定法② | 寒野善博

13-5 分枝限定法③ | 寒野善博

13-6 分枝限定法の注意点 | 寒野善博

13-7 ソルバーによる整数計画問題の解き方 | 寒野善博

13-8 整数計画の応用例：部屋割問題① | 寒野善博

13-9 整数計画の応用例：部屋割問題② | 寒野善博

配付資料11 | 寒野善博

14. 演習問題

演習問題1 | 寒野善博

演習問題2 | 寒野善博

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