確率過程論（数理手法VI） | UTokyo OCW (OpenCourseWare)

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確率過程論（数理手法VI）

確率過程論（数理手法VI）

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法IVに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

1. 数理手法Ⅳの復習
2. マルチンゲール収束定理
3. マルチンゲール中心極限定理
4. マルコフ連鎖の定義と基本的性質
5. マルコフ連鎖の有限次元分布とマルコフ性
6. 強マルコフ性と反射原理
7. ブラウン運動
8. 連続時間マルチンゲール
9. 任意停止定理と確率積分
10. 確率積分のマルチンゲール性と伊藤の公式
11. オプション価格理論
12. 確率微分方程式

講義一覧

1. 数理手法Ⅳの復習

1-1　講義概要 | 荻原哲平

1-2　参考文献 | 荻原哲平

1-3　復習：σ-加法族、確率空間 | 荻原哲平

1-4　復習：確率変数、期待値、積分の収束定理 | 荻原哲平

1-5　復習：条件付期待値、マルチンゲール | 荻原哲平

1-6　復習：停止時刻、任意停止定理 | 荻原哲平

1-7　復習：マルチンゲール変換、Doobの不等式 | 荻原哲平

講義資料1 | 荻原哲平

2. マルチンゲール収束定理

2-1　上向き横断不等式 | 荻原哲平

2-2　上向き横断不等式の証明 | 荻原哲平

2-3　マルチンゲール収束定理とその証明（1） | 荻原哲平

2-4　マルチンゲール収束定理とその証明（2） | 荻原哲平

2-5　マルチンゲール収束定理とその証明（3） | 荻原哲平

2-6　収束定理の系と大数の法則 | 荻原哲平

2-7　ギャンブラーの破産 | 荻原哲平

2-8　分枝過程 | 荻原哲平

講義資料2 | 荻原哲平

3. マルチンゲール中心極限定理

3-1　確率収束と分布収束 | 荻原哲平

3-2　各収束の関係とマルチンゲール中心極限定理の導入 | 荻原哲平

3-3　マルチンゲール中心極限定理 | 荻原哲平

3-4　独立確率変数列に対する中心極限定理 | 荻原哲平

3-5　独立確率変数列に対する中心極限定理の証明 | 荻原哲平

3-6　コーシー・シュワルツの不等式と積の分布収束 | 荻原哲平

3-7　AR過程の最尤推定の例 | 荻原哲平

3-8　１．最尤推定量の計算 | 荻原哲平

3-9　２．推定量の漸近正規性（１） | 荻原哲平

3-10　２．推定量の漸近正規性（２） | 荻原哲平

講義資料3 | 荻原哲平

4. マルコフ連鎖の定義と基本的性質

4-1　演習問題の解説 | 荻原哲平

4-2　AR過程の最尤推定の例：３．信頼区間の計算 | 荻原哲平

4-3　d次元ボレル集合族とX=xの下での条件付期待値 | 荻原哲平

4-4　σ(X)-可測関数の性質 | 荻原哲平

4-5　X=xの下での条件付期待値の定義と例 | 荻原哲平

4-6　マルコフ連鎖の定義 | 荻原哲平

4-7　条件付期待値の性質とマルコフ連鎖の例 | 荻原哲平

4-8　マルコフ連鎖の性質 | 荻原哲平

講義資料4 | 荻原哲平

5. マルコフ連鎖の有限次元分布とマルコフ性

1　演習問題の解説 | 荻原哲平

2　マルコフ連鎖の有限次元分布 | 荻原哲平

3　マルコフ連鎖の構成 | 荻原哲平

4　有限空間のマルコフ連鎖の例 | 荻原哲平

5　π-λ定理 | 荻原哲平

6　マルコフ性 | 荻原哲平

7　マルコフ性の証明 | 荻原哲平

8　チャップマン・コルモゴロフ方程式と適用例 | 荻原哲平

講義資料5 | 荻原哲平

6. 強マルコフ性と反射原理

6-1　演習問題の解説 | 荻原哲平

6-2　強マルコフ性 | 荻原哲平

6-3　反射原理 | 荻原哲平

6-4　反射原理の証明 | 荻原哲平

6-5　ランダムウォーク、連続時間の反射原理 | 荻原哲平

6-6　投票定理 | 荻原哲平

6-7　投票定理の証明 | 荻原哲平

6-8　マルコフ連鎖のその他の話題 | 荻原哲平

講義資料6 | 荻原哲平

7. ブラウン運動

7-1　連続時間の確率過程 | 荻原哲平

7-2　ブラウン運動の定義 | 荻原哲平

7-3　連続時間マルチンゲール | 荻原哲平

7-4　ブラウン運動のマルチンゲール性 | 荻原哲平

7-5　ブラウン運動のマルコフ性 | 荻原哲平

7-6　反射原理、ブラック・ショールズ・モデル | 荻原哲平

講義資料7 | 荻原哲平

8. 連続時間マルチンゲール

8-1　Doobの不等式 | 荻原哲平

8-2　マルチンゲール収束定理 | 荻原哲平

8-3　完備確率空間、usual condition、停止時刻 | 荻原哲平

8-4　停止時刻の性質 | 荻原哲平

8-5　到達時刻 | 荻原哲平

講義資料8 | 荻原哲平

9. 任意停止定理と確率積分

9-1　演習問題の解説 | 荻原哲平

9-2　停止時刻に関する定義と性質 | 荻原哲平

9-3　停止時刻の性質の証明 | 荻原哲平

9-4　任意停止定理と例 | 荻原哲平

9-5　確率積分 | 荻原哲平

9-6　確率積分の定義と性質（階段過程の場合） | 荻原哲平

9-7　階段過程の確率積分の性質２ | 荻原哲平

講義資料9 | 荻原哲平

10. 確率積分のマルチンゲール性と伊藤の公式

10-1　一般のfに対する確率積分 | 荻原哲平

10-2　確率積分の性質 | 荻原哲平

10-3　確率積分のマルチンゲール性 | 荻原哲平

10-4　マルチンゲール表現定理 | 荻原哲平

10-5　伊藤の公式 | 荻原哲平

10-6　伊藤の公式の例 | 荻原哲平

10-7　多次元の伊藤の公式とその例 | 荻原哲平

講義資料10 | 荻原哲平

11. オプション価格理論

11-1　ブラック・ショールズ・モデル | 荻原哲平

11-2　ヨーロッパ・オプションと株式運用による補填 | 荻原哲平

11-3　オプション価格の導出 | 荻原哲平

11-4　ブラック・ショールズ・マートンの公式（１） | 荻原哲平

11-5　ブラック・ショールズ・マートンの公式（２） | 荻原哲平

11-6　プット・オプション | 荻原哲平

11-7　参考文献 | 荻原哲平

講義資料11 | 荻原哲平

12. 確率微分方程式

12-1　確率微分方程式とその解 | 荻原哲平

12-2　確率微分方程式の例 | 荻原哲平

12-3　解の存在と一意性、CIR過程 | 荻原哲平

12-4　Brownian bridge | 荻原哲平

12-5　ディリクレ問題 | 荻原哲平

12-6　Feynman-Kacの公式 | 荻原哲平

講義資料12 | 荻原哲平

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